Algèbre linéaire Exemples

$\frac{4 M^{2} + 7 M - 2}{2 M^{2} - 8} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 M$ .

$\frac{4 M^{2} + 7 (M) - 2}{2 M^{2} - 8} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 1$ plus $8$

$\frac{4 M^{2} + (- 1 + 8) M - 2}{2 M^{2} - 8} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 M^{2} - 1 M + 8 M - 2}{2 M^{2} - 8} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 M^{2} - 1 M) + 8 M - 2}{2 M^{2} - 8} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{M (4 M - 1) + 2 (4 M - 1)}{2 M^{2} - 8} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 M - 1$ .

$\frac{(4 M - 1) (M + 2)}{2 M^{2} - 8} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 M^{2} - 8$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 M^{2}$ .

$\frac{(4 M - 1) (M + 2)}{2 (M^{2}) - 8} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{(4 M - 1) (M + 2)}{2 M^{2} + 2 \cdot - 4} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 M^{2} + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{(4 M - 1) (M + 2)}{2 (M^{2} - 4)} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(4 M - 1) (M + 2)}{2 (M^{2} - 2^{2})} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = M$ et $b = 2$ .

$\frac{(4 M - 1) (M + 2)}{2 (M + 2) (M - 2)} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $M + 2$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 M - 1) (M + 2)}{2 (M + 2) (M - 2)} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 M - 1}{2 (M - 2)} \cdot {(\frac{1}{M - 2})}^{- 1}$

Étape 4

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{4 M - 1}{2 (M - 2)} \cdot (M - 2)$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $M - 2$ .

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Étape 5.1

Factorisez $M - 2$ à partir de $2 (M - 2)$ .

$\frac{4 M - 1}{(M - 2) \cdot 2} \cdot (M - 2)$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 M - 1}{(M - 2) \cdot 2} \cdot (M - 2)$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 M - 1}{2}$